实二次型化为标准型的一些思考

最近复习考研数学时，做到有关二次型转标准型的题目，一般题目会要求：正交变换$x=Qy$，求出矩阵Q。

大致解题思路

假设 3 阶实对称矩阵$A$，$A$二次型变量表示为$(x_1,x_2,x_3)$.特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，对应已单位化的特征向量为$\xi_1,\xi_2,\xi_3$.

正交变换步骤：

1. 构造正交矩阵$P$：矩阵$P = (\xi_1, \xi_2, \xi_3)$是由矩阵$A$的单位化特征向量拼成的矩阵，因为$A$是实对称矩阵，其特征向量是正交的。

2. 变换二次型：

   $$x^T A x = y^T P^T A P y$$

   由于$P$是由特征向量组成的正交矩阵，且 $ P^T P = E $，即$P$的逆等于其转置，因此有：

   $$P^T A P = \Lambda$$

   其中$\Lambda$是$A$的特征值构成的对角矩阵：

   $$\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}$$

3. 因此，变换后的二次型化为：

   $$x^T A x = y^T \Lambda y = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$$

   这就将原来的二次型$x^T A x$化为标准型，标准型是关于新变量$y_1, y_2, y_3$ 的平方项线性组合，且系数是对应的特征值$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3。$

因此，正交变换后的矩阵$P^T A P$会变成一个由特征值$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$组成的对角矩阵。

结论：

在以上条件下，我们可以直接将$\Lambda$作为二次型转化而来的标准型，从而节省时间再去做计算。

Numpy 实现：

在这里可以使用NumPy库来实现一下这类矩阵运算.

import numpy as np

def transform_to_standard_form(A):
    """
    将 3x3 实对称矩阵 A 对应的二次型化为标准型
    :param A: 3x3 实对称矩阵
    :return: 特征值、特征向量、标准型矩阵
    """
    # 计算 A 的特征值和特征向量
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(A)

    # 构造正交矩阵 P（特征向量矩阵）
    P = eigenvectors

    # 计算 P^T * A * P，得到标准型
    P_TAP = np.dot(np.dot(P.T, A), P)

    # 输出结果
    print("输入的实对称矩阵 A:")
    print(A)
    print("\n特征值:")
    print(eigenvalues)
    print("\n特征向量矩阵 P:")
    print(P)
    print("\n标准型矩阵 (P^T * A * P):")
    print(P_TAP)

# 示例：你可以在这里自定义输入任意 3x3 实对称矩阵 A
A = np.array([[4, 1, 2],
              [1, 2, 0],
              [2, 0, 3]])

# 调用函数，输出标准型
transform_to_standard_form(A)