1987数学一换元法求分布函数

设随机变量$X,Y$相互独立，其概率密度函数分别为

$$f_X(x) = \begin{cases} 1, &0 \leqslant x \leqslant 1,\\ 0, & \text{其他},\\ \end{cases} f_Y(y) = \begin{cases} e^{-y}, &y>0 ,\\ 0, & y \leqslant0.\\ \end{cases}$$

求随机变量$Z=2X+Y$的概率密度函数。

解：

根据题意，其中$X,Y$独立可以得到

$$f(x,y) = \begin{cases} e^{-y}， &0 \leqslant x \leqslant 1,y>0,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

由题意设

$$\begin{cases} u = 2x+y,\\ v = y, \end{cases} \Rarr \begin{cases} x = \frac{1}{2}(u-v),\\ y = v. \end{cases}$$

则范围为$0<v\leqslant u \leqslant 2+v$，积分区域如下，分为两块。

其中雅克比行列式$\mathbb{J}$为

$$\mathbb{J} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}$$

故有

$$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} e^{-v}\cdot\lvert \mathbb{J} \rvert, &0<v\leqslant u \leqslant 2+v \\ 0, &\text{其他} \end{cases}$$

即$u$的概率密度如下：

$$f_U(u) = \begin{cases} \frac{1}{2}\int_{0}^{u}e^{-v}\,dv, &0<u \leqslant2\\ \frac{1}{2}\int_{u-2}^{u}e^{-v}\,dv, &u>2\\ 0, &\text{其他}. \end{cases}$$

由于$u=2x+y=z$，即可将上式$u$代换为$z$。

最后解得：

$$f_Z(z) = \begin{cases} \frac{1}{2}(1 - e^{-z}), &0<u \leqslant2\\ \frac{1}{2}(e^2-1)e^{-z}, &u>2\\ 0, &\text{其他}. \end{cases}$$

numpy

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp

# 定义 X 的 PDF，均匀分布在 [0, 1]
def f_X(x):
    return 1 if 0 <= x <= 1 else 0

# 定义 Y 的 PDF，指数分布
def f_Y(y):
    return np.exp(-y) if y > 0 else 0

# 定义 Z = 2X + Y 的 PDF
def f_Z(z):
    if z < 0:
        return 0
    elif 0 <= z <= 2:
        # 积分计算 0 <= z <= 2 的部分
        integral, _ = quad(lambda y: f_Y(y), 0, z)
        return 0.5 * integral
    else:
        # 积分计算 z > 2 的部分
        integral, _ = quad(lambda y: f_Y(y), z - 2, z)
        return 0.5 * integral

# 使用 sympy 创建符号变量并生成 LaTeX 表达式
x, y, z = sp.symbols('x y z')
pdf_x = sp.Piecewise((1, (x >= 0) & (x <= 1)), (0, True))
pdf_y = sp.Piecewise((sp.exp(-y), y > 0), (0, True))

# 手动定义 Z 的表达式的卷积
convolution_expr = sp.integrate(pdf_x.subs(x, (z - y) / 2) * pdf_y, (y, 0, sp.oo))

# 将符号表达式转为 LaTeX 形式
latex_expr = sp.latex(convolution_expr)

# 打印 LaTeX 表达式（你可以使用这个输出到文件或直接打印）
print("LaTeX 表达式:", latex_expr)

# 生成 Z 的值并计算 PDF
z_values = np.linspace(0, 5, 500)
pdf_values = [f_Z(z) for z in z_values]

# 绘制 Z 的概率密度函数
plt.plot(z_values, pdf_values, label="PDF of Z = 2X + Y")
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('f_Z(z)')
plt.title('Probability Density Function of Z = 2X + Y')

# 在图像旁边显示 LaTeX 表达式
plt.text(3.5, 0.15, f"${latex_expr}$", fontsize=12)

plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

这个图将就看吧。